J'ai pas pu m'en empêcher... proposition de correction math obligatoire 2016 :
1) A
2) D
3) C (utiliser les propriétés précédentes)
4) B
5) B (|z*z'|=|z|*|z'|; arg(z*z')=arg(z)*arg(z'))
6) C
7) D (factoriser par 2 pour voir apparaitre une forme manoeuvrable)
8 E (S={-1/3;1/2})
9) D (on connait la forme de la parabole quand on connait le signe du coefficient devant x^2, on connait les solutions à P(x)=0 selon la question précédente, donc on sait où P est positive et où elle est négative)
10) B (longueur du segment [-1;0] = 1 , puis P(x) > 0 sur [-1;-1/3[ (longueur du segment=2/3); P(x) < 0 sur ]-1/3;0] (longueur du segment=1/3) )
11) C (En considérant que 0 n'est pas positif (interprétation de ma part, car
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_positif ), la B est fausse. Ensuite on remarque que Un>0 pour tout n naturel >0 (que des additions, avec U0=0), donc pas de pb pour Vn qui est définie sur l'ensemble des entiers naturels)
12) D (exprimer V(n+1) en fonction de Un et tenter d'identifier Vn => V(n+1) = 1/5*Vn. Calcul qui procure beaucoup de plaisir...)
13) E (Vn= V0*r^n= (-1/3)*(1/5)^n)
14) D (exprimer Un en fonction de Vn à partir de l'expression de Vn en fonction de Un. Encore un calcul hautement enrichissant)
15) E (factoriser par n ==> lim Un = -2)
16) D (bien poser l'inéquation et isoler n (aucun problème dû au signe))
17) B (toutes les fonctions satisfont l'équation différentielle, mais seule celle de la réponse B correspond à la température initiale)
18) A et C (calculer f' et remarquer qu'elle est strictement négative sur [0;+oo[)
19) B et C 20) B et D (étude de fonction. On trouve h'(x)=exp(x)-1. Donc h'<0 sur ]-oo;0[ , h'>0 sur ]0;+oo[, h(0)=0. Donc h est positive sur R, décroissante sur [-1;0])
21) A et C (On remarque que g'x)=h(x). D'après la question précédente g'(x)>=0 pour x dans [-1;0], donc g croissante. De plus g(-1)=1/e-1/2<0 et g(0)=0, donc g(x)<=0)
22) A et C (h(x)>=0 donne A; g(x)<=0 donne C)
23) C (on pose X=-x^2 avec x dans [0;1] (on a bien X dans [-1;0]) et on évalue la double inégalité précédente en X. On obtient C. A, B et D sont fausses pour x=1)
24) A et B (par le calcul on tombe sur B. Attention: B juste donc A juste)
25) A et B (En partant de la réponse B de la question précédente on a: 20/30 <= I <= 23/30, donc en prenant 23/30 comme référence, A est juste (mais imprecis). Pour être plus précis, on se place pile au milieu entre 20/30 et 23/30, et on sait que I sera, au pire, à une distance égale à la moitié de la longueur du segment [20/30;23/30]. Ce qui donne la réponse B)
A discuter si besoin.